CORRECTION BFEM 2012

CORRIGE MATHEMATIQUES BFEM 2012

Exercice 1 :

1) Soit t=\sqrt{45}+\sqrt{196}-\sqrt{180}-\sqrt{245}

45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5 donc \sqrt{45}=\sqrt{3^2 \times 5} = 3\sqrt{5}

196 = 14^2 donc \sqrt{196}=\sqrt{14^2} = 14

180 = 36 \times 5 = 6^2 \times 5 donc \sqrt{180}=\sqrt{6^2 \times 5} = 6\sqrt{5}

245 = 49 \times 5 = 7^2 \times 5 donc \sqrt{245}=\sqrt{7^2 \times 5} = 7\sqrt{5}

d’où t = 3\sqrt{5} + 14 - 6\sqrt{5} - 7\sqrt{5}

on trouve t = 14 - 10\sqrt{5}

2)

a)

x = \frac{4}{7+3\sqrt{5}}

x = \frac{4\left(7-3\sqrt{5}\right)}{\left(7+3\sqrt{5}\right)\left(7-3\sqrt{5}\right)}

x = \frac{4\left(7-3\sqrt{5}\right)}{49 - 45} = \frac{4\left(7-3\sqrt{5}\right)}{4}

donc x = \left(7-3\sqrt{5}\right)

b)

y = \left(3\sqrt{5}-7\right)

Comparer 3\sqrt{5} et 7 revient à comparer \left(3\sqrt{5}\right)^2=45 et 7^2=49

or 45 < 49

d’où 3\sqrt{5}<7 donc 3\sqrt{5}-7<0

Ainsi y < 0

c)

Calculons x + y, on obtient :

x + y = 7 - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 7

donc x + y = 0

d’où y = - x

d)

2,236 < \sqrt{5} < 2,237

\times 2,236 < 3 \times \sqrt{5} < 3 \times 2,237

Par passage à l’opposé, on obtient :

- 3 \times 2,236 > -3 \times \sqrt{5} > -3 \times 2,237

7 - 3 \times 2,236 > 7 - 3 \times \sqrt{5} > 7 - 3 \times 2,237

En ordonnant dans le sens croissant, on obtient à 10^{-2} près :

0,28 < x < 0,29

e)

On a z = (x-y)^2

Rappel : si a est réel \sqrt{a^2}=\left|a\right|

donc \sqrt{z} = \sqrt{(x-y)^2}

donc \sqrt{z}=\left|x-y\right|

avec x - y = -y-y = -2y car x = -y

soit \sqrt{z}=\left|-2y\right| avec -2y > 0

d’où \sqrt{z}=-2y

Exercice 2

1. Le caractère étudié est le nature grammaticale des mots.

2. Il est quantitatif

3. Les modalités du caractère étudié sont : article, verbe, nom, adjectif et préposition.

4. dressons le tableau des effectifs de la série

A partir du texte, on a :

les articles : le - une - la - du - l’ - d’ - le - le

les verbes : vient - administrer - reconnait - félicite

les noms : Sénégal - leçon - démocratie - face - monde - organisation - élection - vaincue - défaite - vainqueur

les adjectifs : belle - présidentielle - incontestée - sa

les prépositions : d’ - de - à - par

Nature grammaticale des mots article verbe nom adjectif préposition
effectifs 8 4 10 4 4

On peut utiliser le diagramme circulaire pour calculer les effectifs des modalités et obtenir :

article : \frac{96°}{360°} \times 30 = 8

verbe : \frac{48°}{360°} \times 30 = 4

nom : \frac{120}{360°} \times 30 = 10

adjectif : \frac{48°}{360°} \times 30 = 4

prépositions : \frac{48°}{360°} \times 30 = 4

5. Le diagramme à bandes

Exercice 3

1) Construisons le triangle MON

  • D’abord, on construit le segments [MN] de longueur 7,5 cm
  • puis on construit l’une des demi-droites [MX), tel que \widehat{NMX}=60°
  • enfin la droite perpendiculaire à [MN] en N qui coupe la demi-droite [MX) en O

2)Calcule de NO

Le triangle MNO étant rectangle en N

tan \widehat{MON}=\frac{MN}{NO}

donc NO = \frac{MN}{tan \widehat{MON}}

or \widehat{MON} = 30°

et tan(30\degree)=\frac{1}{\sqrt{3}}

d’où NO=\frac{7,5}{\frac{1}{\sqrt{3}}}

NO=7,5\sqrt{3} cm

Calcul de MO

sin \widehat{MON}=\frac{MN}{MO} or sin (30°)=\frac{1}{2}

d’où MO=\frac{MN}{sin\widehat{MON}} or sin \widehat{MON}=\frac{1}{2}

MO=\frac{7,5}{\frac{1}{2}}= 7,5 \times 2 donc MO = 15 cm

3) En calculant l’aire du triangle MNO de deux façons différentes et par comparaison on obtient : \frac{1}{2}NI \times MO = \frac{1}{2}MN \times NO

d’où NI=\frac{MN \times NO}{MO}

NI=\frac{7,5}{15} \times 7,5\sqrt{3}=\frac{7,5}{2} \times \sqrt{3}

NI=3,75\sqrt{3} cm

4) Les triangles OIN et OMT sont en position de Thalès

donc \frac{OM}{OI}=\frac{ON}{OT}=\frac{MN}{MT}

donc OM \times MT = MN \times OI

MT=\frac{MN}{OM} \times OI

Aussi cos(30°)=\frac{OI}{ON}

soit OI=ON \times cos(30°)

OI=7,5\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}

MT=\frac{7,5}{15} \times \frac{7,5 \times \sqrt{3}^{2}}{2}

MT=\frac{7,5}{4} \times 3=\frac{22,5}{4}

MT = 5,5 cm

5) \widehat{MET} angle au centre interceptant le même arc que l’angle inscrit \widehat{MOT}

donc \widehat{MET}= 2 \times 30\degree

\widehat{MET} = 60°

Le cercle circonscrit à MOT est centré en E donc EM = ET

d’où MET est un triangle isocèle en E avec \widehat{MET} = 60° donc MET est un triangle équilatéral

Exercice 4

1) \overrightarrow{AB}
\left|
\begin{array}{ll}
-3-2\\
2-(-1)
\end{array}
\right. soit \overrightarrow{AB}
\left|
\begin{array}{ll}
-5\\
3
\end{array}
\right.

\overrightarrow{BC}
\left|
\begin{array}{ll}
0+3\\
7-2
\end{array}
\right. soit \overrightarrow{BC}
\left|
\begin{array}{ll}
3\\
5
\end{array}
\right.

Calculons x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{BC}}=(-5)\times 3 + 3\times 5

On obtient x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{BC}}=0

Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont orthogonaux

2) Comme ABCD estun parallélogramme

On a \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} où E(x,y)

\overrightarrow{CE}
\left|
\begin{array}{ll}
x\\
y-7
\end{array}
\right. et \overrightarrow{AB}
\left|
\begin{array}{ll}
-3\\
5
\end{array}
\right.

donc 
\left\{
\begin{array}{ll}
x=-5\\
y-7=3
\end{array}
\right. ce qui donne 
\left\{
\begin{array}{ll}
x=-5\\
y=10
\end{array}
\right.

Ainsi E(-5,10)

3)t_{\overrightarrow{CE}}(B) = F donc \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CE} avec F(a,b)

\overrightarrow{BF}
\left|
\begin{array}{ll}
a+3\\
b-2
\end{array}
\right. et \overrightarrow{CE}
\left|
\begin{array}{ll}
-5\\
3
\end{array}
\right.

donc 
\left\{
\begin{array}{ll}
a+3=-5\\
b-2=3
\end{array}
\right. ce qui donne a = - 8 et b = 5

d’où F(-8,5)

4) On sait que \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CE} d’après la question 3) et \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB} d’après la question 2)

En comparant les deux expressions de \overrightarrow{CE} on obtient \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BF}

d’où B milieu de [AF]

1) Quel partie a était plus difficile pour vous?

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